111學測數學A選填第14題詳解

方程組： $$\begin{cases} ax+5y+12z=4 \\ x+ay+\frac{8}{3}z=7 \\ 3x+8y+az=1 \end{cases}$$ 經高斯消去法後增廣矩陣化為 $\begin{bmatrix} 1 & 2 & b & 7 \\ 0 & b & 5 & -5 \\ 0 & 0 & b & 0 \end{bmatrix}$。 1. 因為原方程組恰有一組解，化簡後的係數矩陣對角線元素皆不為 $0$，即 $b\neq0$。 2. 由第三列 $b\cdot z=0$ 且 $b\neq0$，得 $z=0$。 3. 代入第二列 $b\cdot y+5\cdot0=-5$，得 $y=-\frac{5}{b}$。 4. 代入第一列 $x+2\left(-\frac{5}{b}\right)+b\cdot0=7$，得 $x=7+\frac{10}{b}$。 5. 將 $(x,y,z)=(7+\frac{10}{b},-\frac{5}{b},0)$ 代入原第二式 $x+ay+\frac{8}{3}z=7$： $$\left(7+\frac{10}{b}\right)+a\left(-\frac{5}{b}\right)=7,$$ 得 $\frac{10}{b}-\frac{5a}{b}=0$，所以 $5a=10$，$a=2$。 6. 代入原第三式 $3x+8y+az=1$： $$3\left(7+\frac{10}{b}\right)+8\left(-\frac{5}{b}\right)+2\cdot0=21+\frac{30}{b}-\frac{40}{b}=21-\frac{10}{b}=1,$$ 得 $\frac{10}{b}=20$，所以 $b=\frac{1}{2}$。 故填 $a=2$ 且 $b=\frac{1}{2}$。