105學測數學選填第18題詳解

1. 因為只看第一象限，$x+2y\le 14$ 與兩坐標軸圍成一個三角形，其頂點為 $(0,0)$、$(14,0)$、$(0,7)$，面積為 $\frac{14\times 7}{2}=49$。 2. 因為所求面積 $\frac{213}{5}$ 小於 $49$，代表 $x-3y\le a$ 確實切掉了一塊，所以 $a<14$；又若 $a$ 為負，直線 $x-3y=a$ 會與 $y$ 軸相交而切掉更多，面積最多只有 $\frac{147}{5}<\frac{213}{5}$，所以只需在 $0\le a<14$ 中找。 3. 在此範圍內，被切掉的是三角形：直線 $x-3y=a$ 與 $x$ 軸交於 $(a,0)$，與 $x+2y=14$ 交於一點。聯立兩式，因為兩式相減得 $5y=14-a$，所以交點的 $y$ 坐標為 $\frac{14-a}{5}$。 4. 因此被切掉的三角形以 $x$ 軸上從 $(a,0)$ 到 $(14,0)$ 的線段為底，底長 $14-a$，高為該交點的 $y$ 坐標 $\frac{14-a}{5}$，所以 $$\text{切掉的面積}=\dfrac{1}{2}(14-a)\cdot\dfrac{14-a}{5}=\dfrac{(14-a)^2}{10}.$$ 5. 因為剩下的面積為 $\frac{213}{5}$，所以 $$49-\dfrac{(14-a)^2}{10}=\dfrac{213}{5}\implies \dfrac{(14-a)^2}{10}=\dfrac{245-213}{5}=\dfrac{32}{5}.$$ 6. 兩邊乘以 $10$ 得 $(14-a)^2=64$，所以 $14-a=\pm 8$，即 $a=6$ 或 $a=22$。 7. 因為第 $2$ 點已定出 $0\le a<14$，所以 $a=22$ 不合，只剩 $a=6$。 故 $a=6$。