106指考數學乙選填第10題詳解

1. $A(4,-1)$、$B(-2,2)$。直線 $AB$ 的斜率為 $m=\frac{2-(-1)}{-2-4}=-\frac{1}{2}$，方程式為 $$y-2=-\frac{1}{2}(x+2)\implies x+2y=2$$ 2. $\triangle ABC$ 的面積 $=\frac{1}{2}\cdot|\overset{\large\rightharpoonup}{AB}|\cdot d(P,AB)$，其中 $d(P,AB)$ 為點 $P$ 到直線 $AB$ 的距離。因為 $A,B$ 為定點，$|\overset{\large\rightharpoonup}{AB}|$ 為定值，所以面積最大等價於 $d(P,AB)$ 最大。 3. 點 $P$ 到直線 $x+2y-2=0$ 的距離為 $$d=\frac{|x+2y-2|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{x+2y-2}{\sqrt{5}}$$ （因為可行解區域滿足 $x+2y\ge 2$，所以 $x+2y-2\ge 0$。） 因此最大化 $d$ 等價於最大化 $f(x,y)=x+2y$。 4. 找出可行解區域的頂點： $x+2y=2$ 與 $x-y=-4$ 的交點：$(-2,2)$（即點 $B$）。 $x-y=-4$ 與 $y=8$ 的交點：$(4,8)$。 $y=8$ 與 $3x+y=23$ 的交點：$(5,8)$。 $3x+y=23$ 與 $x+2y=2$ 的交點：$(8.8,-3.4)$。 5. 計算 $f(x,y)=x+2y$ 在各頂點的值： $$f(-2,2)=-2+4=2$$ $$f(4,8)=4+16=20$$ $$f(5,8)=5+16=21$$ $$f(8.8,-3.4)=8.8-6.8=2$$ 6. 最大值為 $21$，發生在點 $(5,8)$。因此當 $P(5,8)$ 時，$\triangle ABC$ 面積最大。 故填 $5,8$。