詳解
$(1)$ 聯立不等式 $\begin{cases} -1 \le x+y \le 3 \\ -2 \le 2x+y \le 4 \end{cases}$ 的解區域 $R$ 為解答附圖中的陰影四邊形區域，其頂點分別為 $(-5,8)$、$(1,2)$、$(5,-6)$、$(-1,0)$。
$(2)$ 目標函數為 $f(x,y)=3x+y$。將可行解區域 $R$ 的頂點分別代入：
- $f(-5,8)=-7$
- $f(1,2)=5$
- $f(5,-6)=9$
- $f(-1,0)=-3$
因此在區域 $R$ 的條件下，$3x+y$ 的最大值為 $9$，於 $(x,y)=(5,-6)$ 時取得。
解答附圖