106指考數學乙非選第11題詳解

(1) 設上週選擇領取甲券、乙券的民眾比例分別為 $x$ 與 $y$（滿足 $x + y = 1$）。 根據題意，本週的比例變化為： * 本週領取甲券之比例 $= 0.85x + 0.35y$ * 本週領取乙券之比例 $= 0.15x + 0.65y$ 以狀態向量 $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ 表示，上述轉移過程可寫為： $$\begin{bmatrix} 0.85 & 0.35 \\ 0.15 & 0.65 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.85x + 0.35y \\ 0.15x + 0.65y \end{bmatrix}$$ 因此，描述此現象的轉移矩陣為： $$\begin{bmatrix} 0.85 & 0.35 \\ 0.15 & 0.65 \end{bmatrix}$$ (2) 所謂穩定狀態，是指每週發放甲、乙兩種彩券的比例保持不變。即： $$\begin{bmatrix} 0.85 & 0.35 \\ 0.15 & 0.65 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$ 展開可得聯立方程式： $$\begin{cases} 0.85x + 0.35y = x \\ 0.15x + 0.65y = y \end{cases} \implies 0.35y = 0.15x \implies 7y = 3x$$ 又因為 $x + y = 1$，我們將 $y = \dfrac{3}{7}x$ 代入： $$x + \dfrac{3}{7}x = 1 \implies \dfrac{10}{7}x = 1 \implies x = 0.7$$ 則 $y = 1 - 0.7 = 0.3$。 答：當領取甲券民眾占 $70\%$、領取乙券民眾占 $30\%$ 時，會形成穩定狀態。