106指考數學乙非選第12題詳解

(1) 設袋中藍色代幣有 $x$ 枚。則袋中代幣的總數量為： $$4 + 9 + x = 13 + x \text{ 枚}$$ 隨機變數 $X$ 代表取出 $1$ 枚代幣可兌換的金額。其機率分布為： * $P(X = 50) = \dfrac{4}{13+x}$ * $P(X = 20) = \dfrac{9}{13+x}$ * $P(X = 10) = \dfrac{x}{13+x}$ 根據期望值公式，$E(X) = 20$： $$E(X) = 50 \times \dfrac{4}{13+x} + 20 \times \dfrac{9}{13+x} + 10 \times \dfrac{x}{13+x} = 20$$ $$\implies \dfrac{200 + 180 + 10x}{13+x} = 20$$ $$\implies 380 + 10x = 20(13+x)$$ $$\implies 380 + 10x = 260 + 20x \implies 10x = 120 \implies x = 12$$ 答：藍色代幣有 $12$ 枚。 (2) 袋中代幣總數為 $4 + 9 + 12 = 25$ 枚。 一次取出 $2$ 枚代幣的所有可能取法總數為： $$C^{25}_2 = \dfrac{25 \times 24}{2} = 300 \text{ 種}$$ 隨機變數 $Y$ 代表取出 $2$ 枚代幣的金額總和。我們利用餘事件，先計算 $Y > 50$（即金額大於 $50$ 元）的取法數： * 取到 $2$ 枚紅色代幣（金額為 $50 + 50 = 100$ 元）： $$C^4_2 = \dfrac{4 \times 3}{2} = 6 \text{ 種}$$ * 取到 $1$ 枚紅色、$1$ 枚綠色代幣（金額為 $50 + 20 = 70$ 元）： $$C^4_1 \times C^9_1 = 4 \times 9 = 36 \text{ 種}$$ * 取到 $1$ 枚紅色、$1$ 枚藍色代幣（金額為 $50 + 10 = 60$ 元）： $$C^4_1 \times C^{12}_1 = 4 \times 12 = 48 \text{ 種}$$ *(註：若取到綠色或藍色組合，其最高金額為 $20 + 20 = 40$ 元，必小於等於 $50$ 元。)* 因此，$Y > 50$ 的取法總數為： $$6 + 36 + 48 = 90 \text{ 種}$$ 其機率為： $$P(Y > 50) = \dfrac{90}{300} = \dfrac{3}{10}$$ 由此求得 $Y \le 50$ 的機率為： $$P(Y \le 50) = 1 - P(Y > 50) = 1 - \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10} = 0.7$$ 答：$Y \le 50$ 的機率為 $\dfrac{7}{10}$（或 $0.7$）。