101學測數學選填第18題詳解

因為 $APQR$ 為平行四邊形，所以 $\overline{AP} \parallel \overline{QR}$ 且 $\overline{AR} \parallel \overline{PQ}$。 設 $\overline{AP} = x$，$\overline{AR} = y$。平行四邊形 $APQR$ 中 $\angle A = 60^\circ$，面積為 $$x \cdot y \cdot \sin 60^\circ = xy \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \implies xy = 40.$$ 2. 因為 $\triangle BPQ$ 為正三角形（各邊與 $\triangle ABC$ 的邊平行），所以 $\overline{BP} = \overline{PQ} = y$，且 $\overline{QC} = x$。 因此 $x + y = \overline{AB} = 13$。 3. 由 $x + y = 13$ 且 $xy = 40$，得 $x, y$ 為 $t^2 - 13t + 40 = 0$ 的兩根，即 $t = 5, 8$。 4. 在平行四邊形 $APQR$ 中，由餘弦定理： \begin{align*} \overline{PR}^2 &= x^2 + y^2 - 2xy\cos 60^\circ \\ &= x^2 + y^2 - xy = (x+y)^2 - 3xy \\ &= 13^2 - 3 \times 40 = 169 - 120 = 49. \end{align*} 所以 $\overline{PR} = 7$。 故填 $7$。