101學測數學選填第17題詳解

設 $C\!\left(x, \frac{1}{2}x^2\right)$。計算向量： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (4-(-2), 8-2) = (6, 6),$$ $$\overset{\large\rightharpoonup}{AC} = \left(x - (-2), \frac{1}{2}x^2 - 2\right) = \left(x + 2, \frac{1}{2}x^2 - 2\right).$$ 2. 內積： \begin{align*} \overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AC} &= 6(x+2) + 6\left(\frac{1}{2}x^2 - 2\right) \\ &= 6x + 12 + 3x^2 - 12 \\ &= 3x^2 + 6x \\ &= 3(x^2 + 2x) = 3(x+1)^2 - 3. \end{align*} 3. 因為 $(x+1)^2 \ge 0$，所以當 $x = -1$ 時，內積有最小值 $-3$。 故填 $-1, -3$。