83學測數學選填第17題詳解

兩平面相加得 $2x=2$，所以交線上的點皆滿足 $x=1$；代回任一平面得 $y=z$。因此可設交線上的點為 $X(t)=(1,t,t)$。 點 $(1,2,3)$ 到 $X(t)$ 的距離平方為 $$d^2=(t-2)^2+(t-3)^2=2t^2-10t+13=2\left(t-\frac52\right)^2+\frac12.$$ 因為平方項最小為 $0$，所以 $t=\frac52$ 時距離最小。 故所求點為 $\left(1,\frac52,\frac52\right)$。