83學測數學選填第18題詳解

設三邊為正整數 $a\le b\le c$。因為共用 $20$ 根火柴棒，所以 $a+b+c=20$；三角形條件只需檢查最大邊，故 $a+b>c$，也就是 $c<10$。又因為 $a,b\le c$，所以 $20=a+b+c\le3c$，得 $c\ge7$。 分別列舉： $$c=9: (a,b)=(2,9),(3,8),(4,7),(5,6),$$ $$c=8: (a,b)=(4,8),(5,7),(6,6),$$ $$c=7: (a,b)=(6,7).$$ 共有 $4+3+1=8$ 組邊長；不同邊長組合即為不同的不全等三角形。故答案為 $8$。