83學測數學選填第19題詳解

因為 $\frac{3\pi}{2}<\theta<2\pi$，所以 $\theta$ 在第四象限，故 $\cos\theta>0$、$\sin\theta<0$。 將已知式平方： $$\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^2=\frac{1}{25}\implies 2\sin\theta\cos\theta=-\frac{24}{25}.$$ 所以 $$\left(\cos\theta-\sin\theta\right)^2=1-2\sin\theta\cos\theta=\frac{49}{25}.$$ 由符號判斷 $\cos\theta-\sin\theta>0$，得 $\cos\theta-\sin\theta=\frac75$。與 $\sin\theta+\cos\theta=\frac15$ 相加，得到 $2\cos\theta=\frac85$。 故 $\cos\theta=\frac45$。