99學測數學選填第16題詳解

1. 先由前兩式解出 $x,y$（以 $a$ 表示）： $$\begin{cases}2x-y=1\\x-2y=a\end{cases}$$ 由第一式得 $y=2x-1$，代入第二式： $$x-2(2x-1)=a\;\implies\;-3x+2=a\;\implies\;x=\frac{2-a}{3}$$ 代回 $y=2x-1=\frac{2(2-a)}{3}-1=\frac{1-2a}{3}$ 2. 將 $x,y$ 代入第三式 $x-ay=122$： $$\frac{2-a}{3}-a\cdot\frac{1-2a}{3}=122\;\implies\;\frac{2-a-a+2a^2}{3}=122$$ $$2a^2-2a+2=366\;\implies\;2a^2-2a-364=0\;\implies\;a^2-a-182=0$$ 3. 解方程式： $$a^2-a-182=0\;\implies\;(a-14)(a+13)=0$$ 因為已知 $a>0$，所以 $a=14$。 故 $a=14$。