99學測數學選填第17題詳解

1. 在 $\triangle ABD$ 中，$\angle A=90^\circ$，$\overline{AB}=5$，$\overline{BC}=6$。令 $\angle ABC=\theta$，則 $\angle ABD=2\theta$。 2. $C$ 在 $\overline{AD}$ 上。在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A=90^\circ$，由畢氏定理： $$\overline{AC}=\sqrt{\overline{BC}^2-\overline{AB}^2}=\sqrt{36-25}=\sqrt{11}$$ 3. 因為 $\triangle ABC$ 為直角三角形，所以 $\tan\theta=\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{\sqrt{11}}{5}$。 4. 在 $\triangle ABD$ 中，$\tan 2\theta=\frac{\overline{AD}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AD}}{5}$。利用倍角公式： \begin{aligned} \tan 2\theta&=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\\[4pt] &=\frac{2\cdot\frac{\sqrt{11}}{5}}{1-\frac{11}{25}}=\frac{\frac{2\sqrt{11}}{5}}{\frac{14}{25}}\\[4pt] &=\frac{2\sqrt{11}}{5}\cdot\frac{25}{14}=\frac{5\sqrt{11}}{7} \end{aligned} 5. 因此 $\overline{AD}=5\cdot\frac{5\sqrt{11}}{7}=\frac{25\sqrt{11}}{7}$。在 $\triangle ABD$ 中用畢氏定理： \begin{aligned} \overline{BD}^2&=\overline{AB}^2+\overline{AD}^2=25+\frac{625\times 11}{49}\\[4pt] &=25+\frac{6875}{49}=\frac{1225+6875}{49}=\frac{8100}{49} \end{aligned} 因此 $\overline{BD}=\frac{90}{7}$。 故 $\overline{BD}=\frac{90}{7}$。