97學測數學選填第15題詳解

圓心 $O(0,0)$，$A(1,0)$ 在圓上，半徑 $R=1$。因為 $\overline{AB}=\overline{BC}$，所以 $\angle AOB=\angle BOC=\theta$。 1. $\triangle OAB$ 面積：$\frac{1}{2}R^2\sin\theta=\frac{1}{2}\sin\theta=\frac{3}{10}$，$\sin\theta=\frac{3}{5}$。 2. 因為 $\triangle OAB$ 為銳角三角形，$\cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}=\frac{4}{5}$。 3. $\triangle OAC$ 的面積：$\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC=2\theta$。 \begin{aligned} \triangle OAC&=\frac{1}{2}R^2\sin 2\theta =\frac{1}{2}\cdot 2\sin\theta\cos\theta\\[4pt] &=\sin\theta\cos\theta =\frac{3}{5}\times\frac{4}{5}=\frac{12}{25} \end{aligned} 故 $\triangle OAC$ 面積為 $\frac{12}{25}$。