99學測數學選填第19題詳解

1. 在 $\triangle ABC$ 中，$\overline{AB}=c=2$，$\overline{BC}=a=3$，$\angle A=2\angle C$。令 $\angle C=\theta$，則 $\angle A=2\theta$。 2. 由正弦定理： $$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}\;\implies\;\frac{3}{\sin 2\theta}=\frac{2}{\sin\theta}$$ 因為 $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$，所以 $$\frac{3}{2\sin\theta\cos\theta}=\frac{2}{\sin\theta}\;\implies\;\frac{3}{2\cos\theta}=2\;\implies\;\cos\theta=\frac{3}{4}$$ 3. $\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$。 4. $\angle B=180^\circ-\angle A-\angle C=180^\circ-3\theta$。 $\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta=3\cdot\frac{\sqrt{7}}{4}-4\cdot\frac{7\sqrt{7}}{64}=\frac{12\sqrt{7}}{16}-\frac{7\sqrt{7}}{16}=\frac{5\sqrt{7}}{16}$ 5. 設 $\overline{AC}=b$。由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$： $$\frac{b}{\sin 3\theta}=\frac{2}{\sin\theta}\;\implies\;b=2\cdot\frac{\sin 3\theta}{\sin\theta}=2\cdot\frac{\frac{5\sqrt{7}}{16}}{\frac{\sqrt{7}}{4}}=2\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{2}$$ 故 $\overline{AC}=\frac{5}{2}$。