99學測數學選填第20題詳解

1. 拋物線 $\Gamma:x^2=8y$ 即 $x^2=4(2)y$，焦距 $c=2$。焦點 $F(0,2)$，準線 $M:y=-2$。點 $A(\frac{9}{4},2)$，直線 $L:y=-5$。 2. 由拋物線定義，$\Gamma$ 上任意點 $P(x,y)$ 滿足 $d(P,F)=d(P,M)=y+2$。 3. 計算 $d(P,L)$： $$d(P,L)=y-(-5)=y+5=(y+2)+3=d(P,F)+3$$ 4. 所求為 $$\begin{aligned} |d(P,L)-\overline{AP}|&=|d(P,F)+3-\overline{AP}|\\[4pt] &=|3+(PF-\overline{AP})| \end{aligned}$$ 5. 由三角不等式，$|PF-\overline{AP}|\le\overline{AF}$，等號成立於 $A,P,F$ 共線且 $P$ 在射線 $AF$ 上。$\overline{AF}=\sqrt{(\frac{9}{4}-0)^2+(2-2)^2}=\frac{9}{4}$。 6. 因為 $PF+3-\overline{AP}\ge 3-\overline{AF}=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}>0$，絕對值內恆為正，所以 $$|d(P,L)-\overline{AP}|=3+(PF-\overline{AP})\le 3+\overline{AF}=3+\frac{9}{4}=\frac{21}{4}$$ 故最大值為 $\frac{21}{4}$。