97學測數學選填第20題詳解

1. 圓 $O_1$ 的圓心為 $A(7, 1)$，半徑 $R_1 = 12$。 圓 $O_2$ 的圓心為 $B(-2, 13)$，半徑 $R_2 = 3$。 兩圓的圓心距離為 $\overline{AB} = \sqrt{(-2-7)^2 + (13-1)^2} = \sqrt{81+144} = 15$。 因為 $\overline{AB} = R_1 + R_2 = 15$，所以兩圓外切。 2. 由拋物線定義，到焦點的距離等於到準線的距離： 設拋物線的焦點為 $F$。 因為拋物線通過 $A$ 且以 $L: x=-5$ 為準線，所以 $\overline{AF} = d(A, L) = 7 - (-5) = 12 = R_1$。 同理，$\overline{BF} = d(B, L) = -2 - (-5) = 3 = R_2$。 3. 因為 $\overline{AF} = R_1$，$\overline{BF} = R_2$，且 $\overline{AB} = R_1 + R_2$，說明 $F$ 點必定落在線段 $\overline{AB}$ 上，且為圓 $O_1$ 與圓 $O_2$ 的切點。 使用內分點公式求 $F$ 的坐標（$\overline{AF} : \overline{FB} = 12 : 3 = 4 : 1$）： $$F = \dfrac{1 \cdot A + 4 \cdot B}{5} = \dfrac{(7, 1) + 4(-2, 13)}{5} = (-\dfrac{1}{5}, \dfrac{53}{5})$$ 故焦點坐標為 $(-\dfrac{1}{5}, \dfrac{53}{5})$。