在 $\triangle AOC$ 中，對應正五邊形的兩個邊弧，故其中心角為：
$$\angle AOC = \dfrac{2}{5} \times 360^\circ = 144^\circ$$
設圓 $O$ 的半徑為 $\overline{OA} = \overline{OC} = r$，已知 $\overline{AC} = 1$。
因為 $\triangle AOC$ 為等腰三角形，所以：
$$\angle OCA = \angle OAC = \dfrac{180^\circ - 144^\circ}{2} = 18^\circ$$
由正弦定理得：
$$\dfrac{r}{\sin \angle OCA} = \dfrac{\overline{AC}}{\sin \angle AOC} \implies \dfrac{r}{\sin 18^\circ} = \dfrac{1}{\sin 144^\circ}$$
因為 $\sin 144^\circ = \sin (180^\circ - 36^\circ) = \sin 36^\circ$，所以：
$$r = \dfrac{\sin 18^\circ}{\sin 36^\circ} = \dfrac{\sin 18^\circ}{2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ} = \dfrac{1}{2 \cos 18^\circ}$$
將 $\cos 18^\circ = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$ 代入，得：
$$r = \dfrac{1}{2 \times \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}} = \dfrac{2}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$$
將分母有理化：
$$r = \dfrac{2\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{(10+2\sqrt{5})(10-2\sqrt{5})}} = \dfrac{2\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{100 - 20}} = \dfrac{2\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{80}} = \dfrac{2\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2\sqrt{5}}$$
$$r = \dfrac{\sqrt{5} \times \sqrt{10-2\sqrt{5}}}{10} = \dfrac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{10}$$
故圓 $O$ 的半徑長為 $\frac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{10}$。
解答示意圖：正五角星輔助線與 F 點
