88學測數學選填第16題詳解

首先，在 $\Delta ABC$ 中，利用餘弦定理求對邊 $\overline{AB}$ 的長度： $$\begin{aligned} \overline{AB}^2 &= \overline{AC}^2 + \overline{BC}^2 - 2\overline{AC} \cdot \overline{BC} \cos C \\ &= 3000^2 + 2000^2 - 2(3000)(2000) \cos 60^\circ \\ &= 9 \times 10^6 + 4 \times 10^6 - 6 \times 10^6 = 7 \times 10^6 \implies \overline{AB} = 1000\sqrt{7} \text{ 公尺} \end{aligned}$$ 接著，使用正弦定理求 $\sin A$： $$\begin{aligned} \frac{\overline{BC}}{\sin A} &= \frac{\overline{AB}}{\sin C} \implies \frac{2000}{\sin A} = \frac{1000\sqrt{7}}{\sin 60^\circ} \\ \sin A &= \frac{2000 \times \sin 60^\circ}{1000\sqrt{7}} = \frac{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7} \end{aligned}$$ 利用參考資料代入計算： $$\sin A \approx \frac{4.583}{7} \approx 0.6547$$ 查三角函數表，可得知 $\sin 41^\circ \approx 0.6561$ 最接近此值，故 $\angle A \approx 41^\circ$。