86大學聯考數學（社會組）多選第3題詳解

$(1)$ 錯誤：$\begin{cases} 3x+2y+z=1 \\ 6x+4y+2z=5 \end{cases}$ 為空間中的兩平行平面。 $(2)$ 正確：$\begin{cases} x=2t+1 \\ y=3t-2 \\ z=3 \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$ 為空間中通過點 $(1,-2,3)$，方向向量平行 $(2,3,0)$ 的直線方程式。 $(3)$ 正確：$\dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y-6}{2} = \dfrac{z-5}{3}$ 為空間中通過點 $(2,6,5)$，方向向量平行 $(3,2,3)$ 的直線方程式。 $(4)$ 錯誤：$2x+y=1$ 為空間中的平面方程式。 $(5)$ 正確：設三個平面分別為： $$\begin{cases} x+y-2z=0 & \dots E_1 \\ x-2y+z=1 & \dots E_2 \\ 2x-y-z=1 & \dots E_3 \end{cases}$$ 因為 $E_3 = E_1 + E_2$，所以方程組同義於 $\begin{cases} x+y-2z=0 & \dots E_1 \\ x-2y+z=1 & \dots E_2 \end{cases}$，又 $E_1, E_2$ 的法向量不平行，故相交於一直線，由此可知 $E_1, E_2, E_3$ 三平面交於一直線。