87大學聯考數學（社會組）選填第8題詳解

因為先求前兩平面 $E_1:5x+y+2z=-1$ 與 $E_2:5x-7y+z=-18$ 的交線上一點。令 $y=0$，則 $$\left\{\begin{array}{l}5x+2z=-1\\5x+z=-18\end{array}\right.$$ 兩式相減得 $z=17$，代回得 $x=-7$，所以交線上一點為 $P(-7,0,17)$。若第三平面 $E_3:3x-y+z=a$ 也通過同一交線，則 $P$ 在 $E_3$ 上，故 $$a=3(-7)-0+17=-4.$$ 另解 由前兩式相減，得 $8y+z=17$，所以 $z=17-8y$。代入第一式得 $5x+y+2(17-8y)=-1$，即 $5x-15y=-35$，所以 $x=3y-7$。交線上任一點可寫成 $$(x,y,z)=(3t-7,t,17-8t).$$ 代入第三平面： $$3(3t-7)-t+(17-8t)=9t-21-t+17-8t=-4,$$ 與 $t$ 無關，因此 $a=-4$。 另解 若三平面共交於一直線，第三個方程必須是前兩個方程的線性組合。設 $$(3,-1,1)=s(5,1,2)+t(5,-7,1).$$ 由 $s+t=\frac{3}{5}$ 與 $s-7t=-1$ 可得 $s=\frac{2}{5}$、$t=\frac{1}{5}$，且第三個係數也符合 $2s+t=1$。常數項同樣線性組合，因此 $$a=s(-1)+t(-18)=\dfrac{2}{5}(-1)+\dfrac{1}{5}(-18)=-4.$$