詳解
1. 將圓方程式 $x^2+y^2-8x+4y-5=0$ 配方，得
$$(x-4)^2+(y+2)^2=25,$$
所以圓心為 $C(4,-2)$，半徑為 $5$。
2. 假設圓上過點 $A$、$B$ 的兩條互相垂直切線交於 $P(x,y)$。因為切線段 $\overline{PA}=\overline{PB}$，且圓半徑 $\overline{CA}=\overline{CB}$，所以四邊形 $PACB$ 為正方形。對角線
$$\overline{PC}=\sqrt{2}\times \overline{AC}=5\sqrt{2}.$$
又 $P(x,y)$、$C(4,-2)$，由兩點距離公式，
$$\overline{PC}=\sqrt{(x-4)^2+(y+2)^2}=5\sqrt{2}.$$
平方展開得
$$(x-4)^2+(y+2)^2=50,$$
所以點 $P$ 的軌跡方程式為
$$x^2+y^2-8x+4y-30=0.$$
垂直切線交點軌跡示意圖