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87大學聯考數學（社會組）選填第10題詳解

📅 87 年 📝 大學聯考數學（社會組） 第 10 題 題型：選填 課綱：99課綱

答案與本題考點

答案：$3a - 4b = 2$

本題考點：正射影、向量內積、平面向量、向量化

題目

設 $A(a, 1)$，$B(2, b)$ 與 $C(3, 4)$ 為坐標平面上三點，$O$ 為原點。若向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{OB}$ 在向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{OC}$ 上的正射影相同，則 $a$ 與 $b$ 滿足的關係式為 $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ }$。
正射影向量內積平面向量
解題手法向量化〔AI 推測〕

答案

答案

$3a - 4b = 2$

選填題

詳解

詳解
$\overset{\large\rightharpoonup}{OA}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{OB}$ 在 $\overset{\large\rightharpoonup}{OC}$ 上的正射影相同，代表它們在 $\overset{\large\rightharpoonup}{OC}$ 方向上的內積相同。因為 $$\overset{\large\rightharpoonup}{OC}=(3,4),\ \overset{\large\rightharpoonup}{OA}=(a,1),\ \overset{\large\rightharpoonup}{OB}=(2,b),$$ 所以 $$\overset{\large\rightharpoonup}{OA}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{OC}=\overset{\large\rightharpoonup}{OB}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{OC}.$$ 即 $$3a+4=6+4b,$$ 整理得 $$3a-4b=2.$$ 另解 兩向量在 $\overset{\large\rightharpoonup}{OC}$ 上的正射影相同，等價於 $\overset{\large\rightharpoonup}{BA}$ 垂直 $\overset{\large\rightharpoonup}{OC}$。由 $$\overset{\large\rightharpoonup}{BA}=(a-2,1-b),\ \overset{\large\rightharpoonup}{OC}=(3,4),$$ 可得 $$\overset{\large\rightharpoonup}{BA}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{OC}=0,$$ $$3(a-2)+4(1-b)=0,$$ 整理得 $$3a-4b=2.$$

題目來源：民國87年大學聯考數學科試題（社會組） 第10題（來源PDF第12頁）

資料版本：2026-07-04（commit 790505b5）

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引用本站：大考雷達站，〈87大學聯考數學（社會組）選填第10題詳解〉，資料版本 2026-07-04，https://twmath.com/questions/087_07B_q10

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。