詳解
設 $A(2,5)$、$B(5,1)$、$C(3,7)$。我們有向量：
$$\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = B - A = (3, -4), \ \left\|\overset{\large\rightharpoonup}{AB}\right\|^2 = 25$$
解法一（幾何法）：
設 $P$ 在 $\overline{AB}$ 上的投影點為 $H$。依題意，$\overset{\large\rightharpoonup}{AH}$ 即為 $\overset{\large\rightharpoonup}{AP}$ 在 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB}$ 上的正射影向量：
$$\overset{\large\rightharpoonup}{AH} = (\frac{6}{25},-\frac{8}{25})$$
因此 $H$ 點坐標為：
$$H = A + \overset{\large\rightharpoonup}{AH} = (2, 5) + (\frac{6}{25},-\frac{8}{25}) = (\frac{56}{25},\frac{117}{25})$$
因為 $\overline{PH} \perp \overline{AB}$，直線 $HP$ 的法向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (3, -4)$。
由此可寫出直線 $HP$ 的方程式：
$$3\left(x - \dfrac{56}{25}\right) - 4\left(y - \dfrac{117}{25}\right) = 0 \implies 3x - 4y = -12$$
直線 $BC$ 通過 $B(5,1)$ 與 $C(3,7)$，其方程式為：
$$3x + y = 16$$
由於 $P$ 點為直線 $HP$ 與直線 $BC$ 的交點，聯立方程式得：
$$P(\frac{52}{15},\frac{28}{5})$$
解法二（參數法）：
設 $P$ 點在 $\overline{BC}$ 上的參數式為：
$$P(3+2t, 7-6t), \ 0 \le t \le 1$$
此時向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{AP}$ 為：
$$\overset{\large\rightharpoonup}{AP} = (1+2t, 2-6t)$$
根據正射影公式：
$$\left( \dfrac{\overset{\large\rightharpoonup}{AP} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AB}}{\left\|\overset{\large\rightharpoonup}{AB}\right\|^2} \right) \overset{\large\rightharpoonup}{AB} = \left( \dfrac{3(1+2t) - 4(2-6t)}{25} \right) (3, -4) = \left( \dfrac{-5+30t}{25} \right) (3, -4)$$
依題意，此正射影向量為 $(\frac{6}{25},-\frac{8}{25})$，因此有：
$$\dfrac{-5+30t}{25} = \dfrac{2}{25} \implies t = \dfrac{7}{30}$$
代回 $P$ 點坐標得：
$$P(\frac{52}{15},\frac{28}{5})$$
三角形幾何圖
解法一附圖