113學測數學A單選第18題詳解

1. 因為平面 $E:x-z=4$ 的法向量為 $(1,0,-1)$，而原點在平面上的投影點 $Q$ 滿足 $\overset{\large\rightharpoonup}{OQ}$ 平行於法向量，所以可設 $Q=(t,0,-t)$。 2. 因為 $Q$ 在平面 $E$ 上，所以 $t-(-t)=4$，得 $t=2$，即 $Q=(2,0,-2)$、$\overset{\large\rightharpoonup}{OQ}=(2,0,-2)$。 3. 因為兩向量夾角的餘弦等於內積除以兩者長度之積，所以 $$\cos\alpha=\dfrac{(2,0,-2)\cdot(1,0,0)}{\sqrt{2^2+0^2+(-2)^2}\times 1}=\dfrac{2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$$ 故選 $(4)$。