109指考數學甲補考非選第1題詳解

(1) 因為平面 $E$ 由向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{u} = (2,0,1)$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{v} = (0,1,1)$ 張出且過原點，所以 $E$ 的法向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{u} \times \overset{\large\rightharpoonup}{v}$。 計算： $$\overset{\large\rightharpoonup}{n} = \overset{\large\rightharpoonup}{u} \times \overset{\large\rightharpoonup}{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-1,\;-2,\;2)$$ 因為平面過原點 $O(0,0,0)$，所以 $E$ 的方程式為 $-x - 2y + 2z = 0$，即 $x + 2y - 2z = 0$。 對照 $x + by + cz = d$，得 $b = 2, c = -2, d = 0$。 (2) 設 $\overset{\large\rightharpoonup}{w} = \overset{\large\rightharpoonup}{AB}$。因為 $A', B'$ 分別為 $A, B$ 在平面 $E$ 上的垂直投影，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{A'B'}$ 為 $\overset{\large\rightharpoonup}{w}$ 在 $E$ 上的正射影向量。 可將 $\overset{\large\rightharpoonup}{w}$ 分解為平行 $E$ 的分量 $\overset{\large\rightharpoonup}{A'B'}$ 與垂直 $E$ 的分量 $\overset{\large\rightharpoonup}{w}_\perp$，即 $\overset{\large\rightharpoonup}{w} = \overset{\large\rightharpoonup}{A'B'} + \overset{\large\rightharpoonup}{w}_\perp$。 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}$ 在平面 $E$ 上，而 $\overset{\large\rightharpoonup}{w}_\perp$ 垂直於 $E$，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{w}_\perp \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{u} = 0$。 因此 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{u} = (\overset{\large\rightharpoonup}{A'B'} + \overset{\large\rightharpoonup}{w}_\perp) \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{u} = \overset{\large\rightharpoonup}{A'B'} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{u} + 0 = \overset{\large\rightharpoonup}{A'B'} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{u}$。證畢。 (3) 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{A'B'}$ 在平面 $E$ 上，所以可表示為 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 的線性組合：$\overset{\large\rightharpoonup}{A'B'} = \alpha \overset{\large\rightharpoonup}{u} + \beta \overset{\large\rightharpoonup}{v}$。 由 (2) 同理，$\overset{\large\rightharpoonup}{A'B'} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{v} = \overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{v} = 2$。 計算內積： $\overset{\large\rightharpoonup}{u} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{u} = 2^2 + 0^2 + 1^2 = 5$ $\overset{\large\rightharpoonup}{v} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{v} = 0^2 + 1^2 + 1^2 = 2$ $\overset{\large\rightharpoonup}{u} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{v} = 2 \times 0 + 0 \times 1 + 1 \times 1 = 1$ 建立聯立方程組： $$\begin{cases} (\alpha \overset{\large\rightharpoonup}{u} + \beta \overset{\large\rightharpoonup}{v}) \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{u} = 5 \\ (\alpha \overset{\large\rightharpoonup}{u} + \beta \overset{\large\rightharpoonup}{v}) \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{v} = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 5\alpha + \beta = 5 \\ \alpha + 2\beta = 2 \end{cases}$$ 由第二式得 $\alpha = 2 - 2\beta$，代入第一式： $5(2 - 2\beta) + \beta = 5$ $10 - 10\beta + \beta = 5$ $-9\beta = -5$ $\beta = \frac{5}{9}$ 代入得 $\alpha = 2 - 2 \times \frac{5}{9} = \frac{18 - 10}{9} = \frac{8}{9}$。 故 $\alpha = \frac{8}{9}, \beta = \frac{5}{9}$。