109指考數學甲補考非選第2題詳解

(1) 因為 $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$，所以 $f'(x) = 3x^2 + 2bx + c$。 由題意 $f(x) = \frac{1}{3}f'(x)(x+k)$，將 $f'(x)$ 代入得： $$\begin{aligned} f(x) &= \dfrac{1}{3}(3x^2 + 2bx + c)(x+k) \\ &= \left(x^2 + \dfrac{2b}{3}x + \dfrac{c}{3}\right)(x+k) \\ &= x^3 + \left(k + \dfrac{2b}{3}\right)x^2 + \left(\dfrac{2bk}{3} + \dfrac{c}{3}\right)x + \dfrac{ck}{3} \end{aligned}$$ 因為此等式對所有 $x$ 成立，所以對照 $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$ 的各項係數： 比較 $x^2$ 項係數：$b = k + \frac{2b}{3}$，得 $\frac{b}{3} = k$，故 $b = 3k$。 比較 $x$ 項係數：$c = \frac{2bk}{3} + \frac{c}{3}$，得 $\frac{2c}{3} = \frac{2b k}{3}$，代入 $b = 3k$ 得 $c = 3k^2$。 比較常數項：$d = \frac{ck}{3} = \frac{3k^2 \cdot k}{3} = k^3$。 (2) 由 (1) 的結果，$b = 3k$ 且 $c = 3k^2$，所以： $$f'(x) = 3x^2 + 2(3k)x + 3k^2 = 3(x^2 + 2kx + k^2) = 3(x + k)^2$$ 因為 $f'(x) = 3(x + k)^2$ 為完全平方式，判別式 $D = (2b)^2 - 4 \cdot 3 \cdot c = (6k)^2 - 12(3k^2) = 36k^2 - 36k^2 = 0$，所以 $f'(x) = 0$ 有重根 $x = -k$。證畢。 (3) 由 (1) 及 (2)，因為 $f(x) = \frac{1}{3}f'(x)(x+k) = \frac{1}{3} \cdot 3(x+k)^2 \cdot (x+k) = (x+k)^3$，且 $f(-1) = 0$，所以 $(-1 + k)^3 = 0$，得 $k = 1$。 因此 $f(x) = (x+1)^3$。 計算定積分： $$\int_0^1 f(x)\;dx = \int_0^1 (x+1)^3\;dx = \left[\dfrac{1}{4}(x+1)^4\right]_0^1 = \dfrac{1}{4}(2^4 - 1^4) = \dfrac{1}{4}(16 - 1) = \dfrac{15}{4}$$ 故積分值為 $\frac{15}{4}$。