109指考數學甲多選第6題詳解

已知 $F'(x) = f(x)$，且 $F(x)$、$f(x)$ 均為實係數多項式函數。 選項 $(1)$：正確。 因為 $F'(t) = f(t)$，所以由微積分基本定理，$\int_0^a f(t)\,dt = F(t)\big|_0^a = F(a) - F(0)$。 選項 $(2)$：正確。 因為 $F(x)$ 除以 $x$ 的商式為 $Q(x)$，所以 $F(x) = x Q(x) + F(0)$。兩邊微分得 $F'(x) = Q(x) + x Q'(x)$，即 $f(x) = Q(x) + x Q'(x)$。代入 $x = 0$，所以 $f(0) = Q(0)$。 選項 $(3)$：不正確。 因為 $f(x)$ 可被 $x+1$ 整除只保證 $f(-1) = 0$，即 $F'(-1) = 0$。但要使 $F(x) - F(0)$ 可被 $(x+1)^2$ 整除，還需 $F(-1) - F(0) = 0$，此條件不一定成立。例如取 $f(x) = x+1$，則可得 $F(x) = \frac{x^2}{2} + x + C$，取 $C = 0$ 使 $F(0) = 0$，則 $F(-1) - F(0) = -\frac{1}{2} \neq 0$，故 $(x+1)^2$ 不整除 $F(x) - F(0)$。 選項 $(4)$：不正確。 因為可舉反例：取 $F(x) = x^2 + 1$，則對所有 $x$，$F(x) \ge \frac{x^2}{2}$ 成立。但 $f(x) = F'(x) = 2x$，當 $x < 0$ 時 $2x < x$，所以 $f(x) \ge x$ 並非對所有實數 $x$ 成立。 選項 $(5)$：不正確。 因為可舉反例：取 $f(x) = x$，則對所有 $x > 0$，$f(x) \ge x$ 成立（等號成立）。取 $F(x) = \frac{x^2}{2} - 1$，則 $F'(x) = x = f(x)$，但 $F(x) = \frac{x^2}{2} - 1 < \frac{x^2}{2}$，所以 $F(x) \ge \frac{x^2}{2}$ 對 $x > 0$ 不成立。 故選 $(1)(2)$。