109指考數學甲多選第7題詳解

已知 $|z| = 1$ 且 $|z+1| = 1$。 設 $z = x + iy$，則 $x^2 + y^2 = 1$。 因為 $|z+1|^2 = (x+1)^2 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 = (x^2 + y^2) + 2x + 1 = 1 + 2x + 1 = 2 + 2x = 1$， 所以 $2x = -1$，即 $x = -\frac{1}{2}$。 代回得 $y^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$，所以 $y = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$。 因此 $z = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$，$z+1 = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$。 選項 $(1)$：正確。 因為點 $A$ 坐標為 $(-\frac{1}{2}, \pm\frac{\sqrt{3}}{2})$，點 $B$ 坐標為 $(\frac{1}{2}, \pm\frac{\sqrt{3}}{2})$，兩點的虛部（$y$ 坐標）相同，所以直線 $AB$ 為水平線，與實數軸平行。 選項 $(2)$：不正確。 因為 $|\overline{OA}| = |z| = 1$，$|\overline{OB}| = |z+1| = 1$，$|\overline{AB}| = |(z+1)-z| = |1| = 1$，所以 $\triangle OAB$ 三邊長均為 $1$，是正三角形而非直角三角形。 選項 $(3)$：不正確。 因為當 $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ 時，點 $A$ 坐標為 $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$，落在第三象限，並非必在第二象限。 選項 $(4)$：正確。 因為 $z = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos\frac{2\pi}{3} \pm i\sin\frac{2\pi}{3} = e^{\pm i\frac{2\pi}{3}}$，所以 $z$ 為三次單位虛根，因此 $z^3 = 1$。 選項 $(5)$：正確。 因為 $|z| = 1$，所以 $z^{-1} = \bar{z}$。因此 $1 + \frac{1}{z} = 1 + \bar{z} = 1 + (-\frac{1}{2} \mp \frac{\sqrt{3}}{2}i) = \frac{1}{2} \mp \frac{\sqrt{3}}{2}i$。 因為 $|\frac{1}{2} \mp \frac{\sqrt{3}}{2}i| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$，所以該點也在單位圓上。 故選 $(1)(4)(5)$。