96指考數學乙多選第4題詳解

要以形狀大小一致的正多邊形地磚無縫鋪設平面，必須滿足頂點會合處的內角和為 $360^\circ$。 因為該正多邊形的內角必須是 $360^\circ$ 的因數，所以只有內角能整除 $360^\circ$ 的正多邊形才能無縫鋪滿平面。 換言之，該正多邊形的內角必須是 $360^\circ$ 的因數。 1. 正三角形：內角為 $60^\circ$，$\frac{360^\circ}{60^\circ} = 6$（可由 $6$ 個正三角形拼合），故選 $(1)$。 2. 正方形：內角為 $90^\circ$，$\frac{360^\circ}{90^\circ} = 4$（可由 $4$ 個正方形拼合），故選 $(2)$。 3. 圓形：邊界為曲線，無法緊密無縫拼接，故不選 $(3)$。 4. 正五邊形：內角為 $108^\circ$，$\frac{360^\circ}{108^\circ} = 3.33\dots$（無法整除），故不選 $(4)$。 5. 正六邊形：內角為 $120^\circ$，$\frac{360^\circ}{120^\circ} = 3$（可由 $3$ 個正六邊形拼合），故選 $(5)$。 故正確選項為 $(1)(2)(5)$。