96指考數學乙多選第5題詳解

因為二維平面上的一元二次方程式依判別式可分為直線、橢圓、拋物線、雙曲線等類型，所以將各選項的三階行列式展開來判斷其所代表的曲線： $(1)$ 展開得： \begin{aligned} &x(2 \times 1 - 1 \times 1) - y(1 \times 1 - 1 \times 3) + x(1 \times 1 - 2 \times 3) = 0\\ &x(1) - y(-2) + x(-5) = 0 \implies -4x + 2y = 0 \implies 2x - y = 0 \end{aligned} 此方程式代表一直線。 $(2)$ 展開得： $$x^2(1) - 2y^2(-2) + x(-5) = 0 \implies x^2 + 4y^2 - 5x = 0$$ 配方整理得： $$\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + 4y^2 = \frac{25}{4}$$ 此方程式代表一橢圓，故選 $(2)$。 $(3)$ 展開得： $$x^2(1) - y^2(-2) + 2x(-5) = 0 \implies x^2 + 2y^2 - 10x = 0$$ 配方整理得： $$(x-5)^2 + 2y^2 = 25$$ 此方程式代表一橢圓，故選 $(3)$。 $(4)$ 展開得： $$(x^2+y^2)(1) - y(-2) + x^2(-5) = 0 \implies x^2 + y^2 + 2y - 5x^2 = 0 \implies -4x^2 + y^2 + 2y = 0$$ $x^2$ 與 $y^2$ 的係數異號，此方程式代表一雙曲線。 $(5)$ 展開得： $$(x^2-y^2)(1) - y(-2) + x(-5) = 0 \implies x^2 - y^2 + 2y - 5x = 0$$ $x^2$ 與 $y^2$ 的係數異號，此方程式代表一雙曲線。 故正確選項為 $(2)(3)$。