115分科測驗數學甲多選第5題詳解

因為分母有理化可把 $z$ 寫成標準式，所以將分子分母同乘 $1-2i$： $$z=\dfrac{(a-2i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\dfrac{(a-4)-(2a+2)i}{5}.$$ 1. 選項 $(1)$ 說 $z$ 的實部為 $\frac{a-4}{5}$。因為上式已是標準式，所以實部為 $\frac{a-4}{5}$、虛部為 $-\frac{2a+2}{5}$，$(1)$ 正確。 2. 選項 $(2)$ 說若 $\bar{z}=z$ 則 $a=1$。因為 $\bar{z}=z$ 等價於 $z$ 為實數，也就是虛部 $-\frac{2a+2}{5}=0$，所以 $a=-1$ 而非 $1$，$(2)$ 錯誤。 3. 選項 $(3)$ 說 $|z|^2\ge\frac{4}{5}$。因為 $|z|=\frac{|a-2i|}{|1+2i|}=\frac{\sqrt{a^2+4}}{\sqrt{5}}$，所以 $|z|^2=\frac{a^2+4}{5}$；又因為 $a^2\ge 0$，所以 $|z|^2\ge\frac{4}{5}$，$(3)$ 正確。 4. 選項 $(4)$ 說若 $a=0$ 則 $z$ 的主輻角大於 $\pi$。因為 $a=0$ 時 $z=\frac{-4-2i}{5}$，實部與虛部皆為負，所以 $z$ 落在第三象限；主輻角取值範圍為 $[0,2\pi)$ 時，第三象限的主輻角介於 $\pi$ 與 $\frac{3\pi}{2}$ 之間，$(4)$ 正確。 5. 選項 $(5)$ 說無論 $a$ 為何值 $z$ 都不會落在第一象限。因為落在第一象限要同時滿足實部 $\frac{a-4}{5}>0$ 與虛部 $-\frac{2a+2}{5}>0$，也就是 $a>4$ 且 $a<-1$，所以兩者不可能同時成立，$(5)$ 正確。 故選 $(1)(3)(4)(5)$。