115分科測驗數學甲多選第4題詳解

因為球共 $N=n_1+n_2+n_3$ 顆且每球被抽中的機率相等，所以 $p_k=\frac{n_k}{N}$，且 $p_1+p_2+p_3=1$。 1. 選項 $(1)$ 說在已知抽出的球不是 $1$ 號球的條件下，該球為 $2$ 號球的機率為 $\frac{p_2}{1-p_1}$。因為 $2$ 號球本來就不是 $1$ 號球，所以由條件機率定義得 $P(2\mid \text{非}1)=\frac{P(2)}{P(\text{非}1)}=\frac{p_2}{1-p_1}$，$(1)$ 正確。 2. 選項 $(2)$ 說抽出球編號的期望值等於 $2+p_3-p_1$。因為期望值為 $1\cdot p_1+2\cdot p_2+3\cdot p_3$，又 $p_2=1-p_1-p_3$，所以期望值 $=p_1+2(1-p_1-p_3)+3p_3=2+p_3-p_1$，$(2)$ 正確。 3. 選項 $(3)$ 說若 $n_1,n_2,n_3$ 為等差數列則 $p_1,p_2,p_3$ 亦為等差數列。因為三個機率是把 $n_1,n_2,n_3$ 同除以定值 $N$ 得到，所以 $p_2-p_1=\frac{n_2-n_1}{N}$ 與 $p_3-p_2=\frac{n_3-n_2}{N}$ 相等，$(3)$ 正確。 4. 選項 $(4)$ 說若 $n_1,n_2,n_3$ 為等比數列則 $p_2\ge\frac{1}{3}$。因為可設 $n_1=c$、$n_2=cr$、$n_3=cr^2$（其中 $c>0$、$r>0$），所以 $$p_2=\dfrac{cr}{c+cr+cr^2}=\dfrac{r}{1+r+r^2}=\dfrac{1}{r+\dfrac{1}{r}+1}.$$ 又因為 $r+\frac{1}{r}\ge 2$，所以分母不小於 $3$，得 $p_2\le\frac{1}{3}$，與選項所述方向相反，$(4)$ 錯誤。 5. 選項 $(5)$ 說若 $p_k<\frac{1}{2}$ 對 $k=1,2,3$ 都成立，則 $n_1,n_2,n_3$ 可構成三角形的三邊長。因為 $p_k<\frac{1}{2}$ 等價於 $n_k<\frac{N}{2}$，也就是 $n_k$ 小於另外兩數之和，三個不等式合起來恰是「任兩邊之和大於第三邊」，$(5)$ 正確。 故選 $(1)(2)(3)(5)$。