115分科測驗數學甲單選第3題詳解

1. 因為和角公式為 $\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$，所以 $\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x$。 2. 代回原式並合併同類項，所以 $$f(x)=\left(\dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)+\sin x-\sqrt{3}\cos x=\dfrac{3}{2}\sin x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x.$$ 3. 因為 $A\sin x+B\cos x$ 恆可化為 $\sqrt{A^2+B^2}\,\sin(x+\varphi)$，而 $\sin$ 的最大值為 $1$，所以 $f(x)$ 的最大值為 $\sqrt{A^2+B^2}$。 4. 代入 $A=\frac{3}{2}$、$B=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以最大值為 $$\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}}=\sqrt{3}.$$ 故選 $(3)$。