113學測數學A單選第4題詳解

1. 因為 $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$，且由和角公式 $$\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\dfrac{1}{2}\cos x,$$ 所以原方程式化為 $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x=\sin x+\frac{1}{2}$。 2. 移項並乘以 $2$，所以 $$\left(\sqrt{3}-2\right)\sin x+\cos x=1 \;\;\text{（式1）}$$ 3. 因為形如 $A\sin x+B\cos x$ 的式子可化為 $R\sin(x+\varphi)$，其中 $R=\sqrt{A^2+B^2}$，所以（式1）的振幅為 $$R=\sqrt{\left(\sqrt{3}-2\right)^2+1^2}=\sqrt{8-4\sqrt{3}}.$$ 4. 因為 $\sqrt{3}>1.7$，所以 $8-4\sqrt{3}<8-6.8=1.2$；又因為 $\sqrt{3}<1.75$，所以 $8-4\sqrt{3}>1$。得 $1<R^2<1.2$，也就是 $R>1$。 5. 因為 $R>1$，方程式 $\sin(x+\varphi)=\frac{1}{R}$ 中的 $\frac{1}{R}$ 嚴格介於 $0$ 與 $1$ 之間，所以在長度為 $2\pi$ 的區間內恰有兩個解。 6. 驗證這兩個解：代入 $x=0$ 得左式 $=\cos 0=1$；代入 $x=\frac{11\pi}{6}$ 得 $$\left(\sqrt{3}-2\right)\left(-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=1,$$ 兩者皆滿足（式1）且都落在 $0\le x<2\pi$ 內。 故選 $(2)$。