115學測數學B選填第13題詳解

$L_1$ 通過原點 $O$，斜角 $75^\circ$；$L_2$ 通過 $(-20,0)$，斜角 $30^\circ$。 $L_1$ 斜率 $\tan75^\circ=\tan(45^\circ+30^\circ)=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}=2+\sqrt{3}$，所以方程式為 $y=(2+\sqrt{3})x$。 $L_2$ 斜率 $\tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}$，通過 $(-20,0)$，所以方程式為 $y=\frac{1}{\sqrt{3}}(x+20)$。 求交點：$(2+\sqrt{3})x=\frac{1}{\sqrt{3}}(x+20)$。兩邊同乘 $\sqrt{3}$： $$\sqrt{3}(2+\sqrt{3})x=x+20$$ $$(2\sqrt{3}+3)x=x+20$$ $$(2+2\sqrt{3})x=20$$ $$x=\frac{10}{1+\sqrt{3}}=\frac{10(\sqrt{3}-1)}{2}=5(\sqrt{3}-1)$$ $$y=(2+\sqrt{3})\cdot5(\sqrt{3}-1)=5(2\sqrt{3}-2+3-\sqrt{3})=5(\sqrt{3}+1)$$ 交點到原點的距離： $$\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{[5(\sqrt{3}-1)]^2+[5(\sqrt{3}+1)]^2}=5\sqrt{(3-2\sqrt{3}+1)+(3+2\sqrt{3}+1)}=5\sqrt{8}=10\sqrt{2}$$ 因為 $10\sqrt{2}=\sqrt{200}$，而 $14^2=196<200<225=15^2$，所以 $10\sqrt{2}$ 介於 $14$ 與 $15$ 之間。又 $200-196=4<29=225-200$，故四捨五入至整數為 $14$。 故填 $14$。