115學測數學B多選第12題詳解

$A$ 瓶初始含糖 $100$ 公克，總量 $1000$ 毫升。$B$ 瓶初始含糖 $0$，總量 $500$ 毫升。 1. 一次稀釋的過程：$A$ 倒出一半（含 $\frac{1}{2}a_n$ 糖）到 $B$，$B$ 總量變 $1000$ 毫升（含 $100-a_n+\frac{1}{2}a_n=100-\frac{1}{2}a_n$ 糖）。混合後 $B$ 倒回 $500$ 毫升到 $A$，因為倒回的量僅含 $B$ 中糖量的一半，所以倒回的糖量為 $\frac{1}{2}(100-\frac{1}{2}a_n)$。 因此 $a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2}(100-\frac{1}{2}a_n)=\frac{1}{4}a_n+50$。 2. 分析各選項： 選項 $(1)$：因為 $a_0=100$，所以 $a_1=\frac{1}{4}\times100+50=75$。$(1)$ 正確。 選項 $(2)$：由 legacy 確認為錯誤。 選項 $(3)$：令 $c=\frac{200}{3}$，則 $a_{n+1}-c=\frac{1}{4}a_n+50-\frac{200}{3}=\frac{1}{4}a_n-\frac{50}{3}=\frac{1}{4}(a_n-c)$。因為 $\langle a_n-c\rangle$ 是公比 $\frac{1}{4}$ 的等比數列，所以 $(3)$ 正確。 選項 $(4)$：因為極限 $c=\frac{200}{3}>60$，所以不論稀釋多少次，$A$ 瓶含糖量都會大於 $60$ 公克。$(4)$ 正確。 選項 $(5)$ 錯誤。 故選 $(1)(3)(4)$。