110指考數學乙多選第6題詳解

由遞迴式 $a_{n+1}=\frac{2n+1}{2n-1}a_n$，可得 $$\begin{aligned} a_n &= a_1 \cdot \dfrac{3}{1} \cdot \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{7}{5} \cdots \dfrac{2n-1}{2n-3} \\[4pt] &= 1 \cdot \dfrac{3}{1} \cdot \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{7}{5} \cdots \dfrac{2n-1}{2n-3} = 2n-1 \end{aligned}$$ （因為中間項全部對消）。 選項 $(1)$：因為 $a_2=2\times2-1=3$，所以此選項正確。 選項 $(2)$：因為 $a_4=2\times4-1=7\neq9$，所以此選項錯誤。 選項 $(3)$：因為 $\frac{a_2}{a_1}=3$、$\frac{a_3}{a_2}=\frac{5}{3}$，比值不固定，所以 $\langle a_n\rangle$ 不是等比數列，此選項錯誤。 選項 $(4)$：因為 $a_n=2n-1$ 為奇數列，所以 $$\sum_{n=1}^{20}a_n=\sum_{n=1}^{20}(2n-1)=2\cdot\dfrac{20\cdot21}{2}-20=420-20=400$$ 此選項正確。 選項 $(5)$：因為 $\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{a_n}{n}=\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{2n-1}{n}=2$，所以此選項正確。 故選 $(1)(4)(5)$。