114學測數學A多選第7題詳解

$3a_{n+1}=a_n+n$，$a_1=2$。$b_n=a_n-\frac{n}{2}+\frac{3}{4}$。 選項 $(1)$：因為 $3a_2=a_1+1=3$，所以 $a_2=1\neq2$。$(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：$b_2=a_2-\frac{2}{2}+\frac{3}{4}=1-1+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$。$(2)$ 正確。 選項 $(3)$：將 $a_n=b_n+\frac{n}{2}-\frac{3}{4}$ 代入遞推式：$3(b_{n+1}+\frac{n+1}{2}-\frac{3}{4})=b_n+\frac{n}{2}-\frac{3}{4}+n$。化簡得 $3b_{n+1}=b_n$，即 $b_{n+1}=\frac{1}{3}b_n$，所以公比為 $\frac{1}{3}$。$(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：$3a_{n+1}=a_n+n$ 兩邊乘 $3^n$：$3^{n+1}a_{n+1}=3^na_n+3^nn$。因為 $3^1a_1=6$ 為正整數，且每次加 $3^nn$ 亦為正整數，所以由數學歸納法知 $3^na_n$ 恆為正整數。$(4)$ 正確。 選項 $(5)$：$b_{n+1}=\frac{1}{3}b_n$，$b_1=2-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$，$b_n=\frac{9}{4}\cdot(\frac{1}{3})^{n-1}$。因為 $b_{10}=\frac{9}{4}\cdot3^{-9}=\frac{1}{4\times2187}=\frac{1}{8748}>10^{-4}$，所以 $(5)$ 錯誤。 故選 $(2)(4)$。