114學測數學A多選第8題詳解

$\frac{2^{x^2}}{8}=\frac{4^x}{2^{y^2}}$，化簡為 $2^{x^2-3}=2^{2x-y^2}$，比較指數得 $x^2-3=2x-y^2$，即 $(x-1)^2+y^2=4$。 選項 $(1)$：$x=3$ 代入得 $(2)^2+y^2=4$，$y=0$，僅 $1$ 個解，所以 $(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：若 $(a,b)$ 滿足，$(-a,-b)$ 代入得 $(a+1)^2+b^2$，不一定等於 $4$。例如 $(3,0)$ 滿足但 $(-3,0)$ 得 $16\neq4$，所以 $(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：因為方程式為 $(x-1)^2+y^2=4$，所以是以 $(1,0)$ 為圓心、半徑 $2$ 的圓。$(3)$ 正確。 選項 $(4)$：因為圓心 $(1,0)$ 到 $x+y=4$ 的距離為 $\frac{|1+0-4|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}>2$，所以沒有交點。$(4)$ 錯誤。 選項 $(5)$：令 $x=1+2\cos t$、$y=2\sin t$，則 $x-y=1+2(\cos t-\sin t)=1+2\sqrt{2}\cos(t+\frac{\pi}{4})$，所以最大值為 $1+2\sqrt{2}$。$(5)$ 正確。 故選 $(3)(5)$。