詳解
(1) 求 $\overline{BD}$ 之長
我們設 $\angle BCD = \alpha$，$\angle ABC = \beta$。
因為 $\alpha$ 與 $\beta$ 皆為銳角，且已知 $\sin\beta = \frac{24}{25}$，$\sin\alpha = \frac{4}{5}$。
由平方關係可得：
$$\cos\beta = \sqrt{1 - \left(\dfrac{24}{25}\right)^2} = \dfrac{7}{25}$$
$$\cos\alpha = \sqrt{1 - \left(\dfrac{4}{5}\right)^2} = \dfrac{3}{5}$$
如圖一所示，自頂點 $D$ 向邊 $\overline{BC}$ 作垂線，垂足為 $E$。在直角三角形 $\triangle CDE$ 中，$\overline{CD} = 15$：
- 垂線高 $\overline{DE} = \overline{CD} \sin\alpha = 15 \times \frac{4}{5} = 12$。
- 底段 $\overline{CE} = \overline{CD} \cos\alpha = 15 \times \frac{3}{5} = 9$。
已知整個底邊 $\overline{BC} = 25$，所以因此另一段底段 $\overline{BE}$ 長度為：
$$\overline{BE} = \overline{BC} - \overline{CE} = 25 - 9 = 16$$
在直角三角形 $\triangle BDE$ 中，利用畢氏定理可得對角線 $\overline{BD}$ 長度為：
$$\overline{BD} = \sqrt{\overline{BE}^2 + \overline{DE}^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20.$$
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(2) 求 $\overline{AD}$ 之長
在直角三角形 $\triangle BDE$ 中，我們可求得其內角的三角函數值：
$$\sin \angle DBE = \dfrac{\overline{DE}}{\overline{BD}} = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$$
$$\cos \angle DBE = \dfrac{\overline{BE}}{\overline{BD}} = \dfrac{16}{20} = \dfrac{4}{5}$$
由圖可知，角 $\angle ABD = \beta - \angle DBE$。我們利用餘弦的和差角公式展開：
$$
\begin{aligned}
\cos \angle ABD
&= \cos(\beta - \angle DBE) = \cos\beta \cos\angle DBE + \sin\beta \sin\angle DBE\\
&= \left(\dfrac{7}{25}\right)\left(\dfrac{4}{5}\right) + \left(\dfrac{24}{25}\right)\left(\dfrac{3}{5}\right)\\
&= \dfrac{28}{125} + \dfrac{72}{125} = \dfrac{100}{125} = \dfrac{4}{5}.
\end{aligned}
$$
接著在三角形 $\triangle ABD$ 中，已知 $\overline{AB} = 16$，$\overline{BD} = 20$，且已得其夾角的餘弦值 $\cos\angle ABD = \frac{4}{5}$。由餘弦定理得：
$$
\begin{aligned}
\overline{AD}^2
&= \overline{AB}^2 + \overline{BD}^2 - 2 \overline{AB} \cdot \overline{BD} \cos\angle ABD\\
&= 16^2 + 20^2 - 2(16)(20)\left(\dfrac{4}{5}\right)\\
&= 256 + 400 - 512\\
&= 144.
\end{aligned}
$$
$$解得 \overline{AD} = \sqrt{144} = 12.$$
另解
如圖二所示，我們以 $B$ 點為原點 $(0,0)$，邊 $\overline{BC}$ 所在直線為 $x$ 軸建立直角坐標系。
- 頂點 $B$ 的坐標為 $(0,0)$。
- 因為 $\overline{BC} = 25$，故頂點 $C$ 的坐標為 $(25,0)$。
- 由於垂足 $E$ 在 $x$ 軸上且 $\overline{BE} = 16$，$\overline{DE} = 12$，可得頂點 $D$ 的坐標為 $(16,12)$。
- 已知 $\overline{AB} = 16$，且角 $\beta = \angle ABC$ 滿足 $\cos\beta = \frac{7}{25}$，$\sin\beta = \frac{24}{25}$，故頂點 $A$ 坐標為：
$$A = (16 \cos\beta, \ 16 \sin\beta) = \left( 16 \times \dfrac{7}{25}, \ 16 \times \dfrac{24}{25} \right) = \left( \dfrac{112}{25}, \ \dfrac{384}{25} \right)$$
利用兩點間距離公式計算 $\overline{AD}$ 的長度。其位移向量為：
$$\overset{\large\rightharpoonup}{AD} = D - A = \left( 16 - \dfrac{112}{25}, \ 12 - \dfrac{384}{25} \right) = \left( \dfrac{288}{25}, \ -\dfrac{84}{25} \right)$$
提取公因數 $\frac{12}{25}$：
$$\overset{\large\rightharpoonup}{AD} = \dfrac{12}{25} (24, \ -7)$$
則向量長度為：
$$\left| \overset{\large\rightharpoonup}{AD} \right| = \dfrac{12}{25} \sqrt{24^2 + (-7)^2} = \dfrac{12}{25} \times 25 = 12.$$
即 $\overline{AD}$ 之長為 $12$。
答：(1) $\overline{BD} = 20$； (2) $\overline{AD} = 12$。
四邊形ABCD示意圖與輔助線DE
建立直角坐標系求解示意圖
解法一附圖
解法二附圖