98指考數學甲選填第10題詳解

在 $\triangle PBC$ 中，$\overline{BC}=5$，$\overline{PB}=4$，$\overline{PC}=3$。 因為 $\overline{PB}^2+\overline{PC}^2=4^2+3^2=25=\overline{BC}^2$，所以 $\triangle PBC$ 是以 $P$ 為直角的直角三角形，$\angle BPC=90^\circ$。 在直角 $\triangle PBC$ 中： \begin{aligned} \cos\angle PBC&=\frac{\overline{PB}}{\overline{BC}}=\frac{4}{5}=0.8\\[4pt] \sin\angle PBC&=\frac{\overline{PC}}{\overline{BC}}=\frac{3}{5}=0.6 \end{aligned} $\triangle ABC$ 為邊長 $5$ 的正三角形，$\angle ABC=60^\circ$。因為 $P$ 在三角形內部，$\angle ABP=\angle ABC-\angle PBC=60^\circ-\angle PBC$。 利用和差角公式： \begin{aligned} \cos\angle ABP&=\cos(60^\circ-\angle PBC)\\[4pt] &=\cos 60^\circ\cos\angle PBC+\sin 60^\circ\sin\angle PBC\\[4pt] &=\frac{1}{2}\times 0.8+\frac{\sqrt{3}}{2}\times 0.6\\[4pt] &=0.4+0.3\sqrt{3} \end{aligned} 代入 $\sqrt{3}\approx 1.732$： $$\cos\angle ABP\approx 0.4+0.3\times 1.732=0.4+0.5196=0.9196\approx 0.92$$ 故 $\cos\angle ABP\approx 0.92$。