98指考數學甲非選第11題詳解

區域 $R$ 為圓 $x^2+y^2\le 4$ 與 $y\ge 1$ 的交集（弓形區域）。 先求邊界交點：解 $\begin{cases}x^2+y^2=4\\y=1\end{cases}$，得 $x=\pm\sqrt{3}$，兩端點為 $A(-\sqrt{3},1)$、$B(\sqrt{3},1)$。 1. 求最大值： 令 $k=x+y$，當直線 $x+y=k$ 在第一象限與圓相切時，$k$ 最大。因為圓心到直線的距離等於半徑，所以： $$\frac{|0+0-k|}{\sqrt{2}}=2\;\implies\;k=2\sqrt{2}$$ 切點 $(\sqrt{2},\sqrt{2})$ 滿足 $y=\sqrt{2}\ge 1$，在區域 $R$ 內。故最大值為 $2\sqrt{2}$。 2. 求最小值： 直線 $x+y=k$ 向左下平移時 $k$ 減小，最小值發生在邊界端點： 代入 $A(-\sqrt{3},1)$：$k=1-\sqrt{3}$ 代入 $B(\sqrt{3},1)$：$k=1+\sqrt{3}$ 因為弓形弧上其餘點之 $x+y$ 皆大於 $1-\sqrt{3}$，所以最小值為 $1-\sqrt{3}$。 故最大值 $2\sqrt{2}$，最小值 $1-\sqrt{3}$。