設目標函數為 $k = y - ax$，將其改寫為斜截式：
$$y = ax + k$$
這表示一組斜率為 $a$、在 $y$ 軸上截距為 $k$ 的平行直線族。
若已知 $A$ 點是此目標函數取得最大值之唯一的點，這意味著在所有可行解點中，通過 $A$ 點時的 $y$ 截距 $k$ 最大。
觀察正六邊形的邊界斜率：
- 與 $A$ 點相鄰的兩條邊分別是線段 $AF$ 和線段 $AB$。
- 直線 $AF$ 為水平線，其斜率為 $0$。
- 正六邊形每個內角為 $120^\circ$，線段 $AB$ 與 $x$ 軸負方向夾角為 $60^\circ$，故直線 $AB$ 的斜率為 $-\sqrt{3}$。
要使平行線族在 $A$ 點取得唯一的最大值，直線 $y = ax+k$ 的斜率 $a$ 必須小於 $AF$ 的斜率，且大於 $AB$ 的斜率。亦即：
$$-\sqrt{3} < a < 0$$
因此， $a$ 之範圍為 $-\sqrt{3} < a < 0$。
解法二（由相鄰邊斜率判斷）：
令目標函數值為 $k=y-ax$，則等值線為
$$y=ax+k.$$
當 $k$ 逐漸增大時，等值線往上平移。若最大值要唯一發生在頂點 $A$，等值線的斜率 $a$ 必須落在與 $A$ 相鄰兩邊斜率之間，且不能等於任一相鄰邊斜率，否則最大值會發生在整條邊上而不是唯一一點。
由正六邊形圖形可知，$AF$ 的斜率為 $0$，$AB$ 的斜率為 $-\sqrt{3}$。因此
$$-\sqrt{3}<a<0.$$
解法三（直接代頂點）：
線性目標函數的最大值會出現在多邊形頂點。由圖可取各頂點坐標為
$$O(0,0),\ D(1,0),\ C(3,0),\ B(4,\sqrt{3}),\ A(3,2\sqrt{3}),\ F(1,2\sqrt{3}),\ E(0,\sqrt{3}).$$
目標函數為 $y-ax$。在 $A$ 點的值為
$$2\sqrt{3}-3a.$$
若 $A$ 為唯一最大點，至少須大於相鄰兩點 $F$ 與 $B$ 的值。
與 $F(1,2\sqrt{3})$ 比較：
$$2\sqrt{3}-3a>2\sqrt{3}-a \Rightarrow a<0.$$
與 $B(4,\sqrt{3})$ 比較：
$$2\sqrt{3}-3a>\sqrt{3}-4a \Rightarrow a>-\sqrt{3}.$$
因此
$$-\sqrt{3}<a<0.$$
在此範圍內，等值線支撐多邊形於唯一頂點 $A$，故答案為 $-\sqrt{3}<a<0$。
解法一附圖
解析圖：目標函數斜率範圍示意
