詳解
已知四點 $A(\sqrt{2}, 2, 0)$、$B(-\sqrt{2}, 2, 0)$、$C(-\sqrt{2}, -2, 0)$、$D(\sqrt{2}, -2, 0)$ 均在 $xy$ 平面（即 $z=0$）上。
我們計算這四點所構成的四邊形各邊長度：
$$\overline{AB} = \sqrt{(-\sqrt{2}-\sqrt{2})^2 + (2-2)^2} = 2\sqrt{2}$$
$$\overline{CD} = \sqrt{(\sqrt{2}-(-\sqrt{2}))^2 + (-2-(-2))^2} = 2\sqrt{2}$$
$$\overline{AD} = \sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{2})^2 + (-2-2)^2} = 4$$
$$\overline{BC} = \sqrt{(-\sqrt{2}-(-\sqrt{2}))^2 + (-2-2)^2} = 4$$
對角線長度為：
$$\overline{AC} = \sqrt{(-\sqrt{2}-\sqrt{2})^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{8 + 16} = 2\sqrt{6}$$
因為 $\overline{AB}=\overline{CD}=2\sqrt{2}$，且 $\overline{AD}=\overline{BC}=4$，所以在 $xy$ 平面上的 $ABCD$ 是一個長為 $4$、寬為 $2\sqrt{2}$ 的矩形。
在正立方體中，此矩形必為一個對角剖面（其邊長關係為 $a$ 與 $a\sqrt{2}$）。
因此，正立方體的棱長為 $a = 2\sqrt{2}$，對角線長為 $a\sqrt{2} = 4$。
因為正立方體的中心在原點 $(0,0,0)$，且對角剖面 $ABCD$ 在 $xy$ 平面上。依空間對稱性，正立方體的其餘四個頂點 $E, F, G, H$ 到 $xy$ 平面的距離應為 $2$（即 $z$ 坐標為 $\pm 2$），且其投影點落在對角剖面的對稱軸上。
因此其餘四個頂點的坐標為：
$$E(\sqrt{2}, 0, 2),\ F(-\sqrt{2}, 0, 2),\ G(\sqrt{2}, 0, -2),\ H(-\sqrt{2}, 0, -2)$$
我們驗證 $AE$ 的邊長是否為 $2\sqrt{2}$：
$$\overline{AE} = \sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{2})^2 + (2-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = 2\sqrt{2}$$
符合正立方體的邊長要求。
對照選項，可知 $(\sqrt{2}, 0, 2)$ 與 $(-\sqrt{2}, 0, -2)$ 均為此正立方體的頂點。
故答案為選項 $(1)(5)$。
解析圖：正立方體三維坐標示意圖