98指考數學甲多選第5題詳解

正立方體邊長 $1$，任一稜邊中點的坐標必有兩個分量為 $0$ 或 $1$，另一個分量為 $\frac{1}{2}$。 逐一檢查各選項是否可能為 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB}$： 選項 $(1)$：$\overset{\large\rightharpoonup}{AB}=(1,0,0)$。取 $A=(0,\frac{1}{2},0)$，$B=(1,\frac{1}{2},0)$（兩平行 $y$ 軸的稜邊中點），則 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB}=(1,0,0)$。正確。 選項 $(2)$：$\overset{\large\rightharpoonup}{AB}=(\frac{1}{2},0,0)$。$x$ 分量差為 $\frac{1}{2}$，表示一端點的 $x$ 坐標為 $\frac{1}{2}$（該點在平行 $x$ 軸的稜邊中點上，形如 $(\frac{1}{2},y_1,z_1)$，$y_1,z_1\in\{0,1\}$），另一端點 $x$ 坐標為 $0$ 或 $1$（形如 $(x_2,\frac{1}{2},z_2)$ 或 $(x_2,y_2,\frac{1}{2})$）。因為 $y$ 分量差為 $0$，若 $B=(\frac{1}{2},y_1,z_1)$ 且 $A=(0,\frac{1}{2},z_2)$，則 $y_1=\frac{1}{2}$（矛盾，$y_1\in\{0,1\}$）；若端點互換，$y_1=y_2$ 也無法成立（$y_1$ 是 $\frac{1}{2}$ 而 $y_2\in\{0,1\}$），所以 $(2)$ 不可能。 選項 $(3)$：$\overset{\large\rightharpoonup}{AB}=(\frac{1}{2},0,1)$。同理，$y$ 分量差為 $0$ 會導致矛盾。不可能。 選項 $(4)$：$\overset{\large\rightharpoonup}{AB}=(0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$。取 $A=(0,\frac{1}{2},1)$，$B=(0,1,\frac{1}{2})$，則 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB}=(0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$。正確。 故選 $(1)(4)$。