題目
已知一個線性規劃問題的可行解區域為四邊形 $ABCD$ 及其內部，其中 $A(4,0)$、$B(8,10)$、$C(6,14)$、$D(2,6)$ 為坐標平面上的四個點。若目標函數 $k = ax + by + 32$（$a$、$b$ 為實數）在四邊形 $ABCD$ 的邊界上一點 $(4,10)$ 有最小值 $18$，則 $a =$ ____，$b =$ ____。
詳解
1. 先確認 $(4,10)$ 在四邊形 $ABCD$ 的哪一邊上。由 $C(6,14)$ 與 $D(2,6)$ 的參數式：
$$\overline{CD}:(2+4t,\,6+8t),\;0\le t\le 1$$
當 $t=\frac{1}{2}$ 時得 $(4,10)$，故 $(4,10)$ 在 $\overline{CD}$ 上。
2. 因為目標函數 $k=ax+by+32$ 在非頂點的邊界點 $(4,10)$ 取得最小值，所以等值線 $ax+by=c$ 與 $\overline{CD}$ 平行。$\overline{CD}$ 的方向向量為
$$(6-2,\,14-6)=(4,8)$$
簡化為 $(1,2)$，因此等值線的法向量 $(a,b)$ 與方向向量垂直：
$$a\cdot 1+b\cdot 2=0\;\implies\; a=-2b$$
3. 代入最小值條件 $k(4,10)=18$：
$$4a+10b+32=18\;\implies\; 2a+5b=-7$$
4. 將 $a=-2b$ 代入：
$$2(-2b)+5b=-7\;\implies\; b=-7,\; a=-2\times(-7)=14$$
故 $a=14$，$b=-7$。
題目來源：民國99年指考數學乙 第10題（來源PDF第6頁）
資料版本：2026-06-24（commit 6b713f91）
校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。
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引用本站：大考雷達站，〈99指考數學乙選填第10題詳解〉，資料版本 2026-06-24，https://twmath.com/questions/099_07B_q10
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