題目
某車商代理進口兩廠牌汽車，甲廠牌汽車每台成本 $100$ 萬元，此次進口上限 $20$ 台，售出一台淨利潤 $11$ 萬元；乙廠牌汽車每台成本 $120$ 萬元，此次進口上限 $30$ 台，售出一台淨利潤 $12$ 萬元。今車商準備 $4400$ 萬元作為此次汽車進口成本，且保證所進口的車輛必定全部售完。試回答下列問題。
$(1)$ 寫出此問題的線性規劃不等式及目標函數。
$(2)$ 在坐標平面上畫出可行解區域，並以斜線標示該區域。
$(3)$ 試問車商此次應進口甲、乙兩廠牌汽車各多少台，才能獲得最大利潤？又最大利潤是多少？
詳解
$(1)$ 設 $x$ 為甲廠牌進口台數，$y$ 為乙廠牌進口台數。
限制條件：
$$0\le x\le 20,\; 0\le y\le 30,\; 100x+120y\le 4400$$
其中 $100x+120y\le 4400$ 可化簡為 $5x+6y\le 220$。
目標函數（利潤）：$P=11x+12y$（萬元）。
$(2)$ 可行解區域為第一象限中由下列直線圍成的多邊形：
$x=0$、$y=0$、$x=20$、$y=30$、$5x+6y=220$。
頂點坐標：
$$(0,0),\;(20,0),\;(20,20),\;(8,30),\;(0,30)$$
（其中 $(20,20)$ 為 $x=20$ 與 $5x+6y=220$ 的交點：$5\cdot 20+6y=220\implies 6y=120\implies y=20$；
$(8,30)$ 為 $y=30$ 與 $5x+6y=220$ 的交點：$5x+180=220\implies 5x=40\implies x=8$。）
將此五邊形區域以斜線標示即為可行解區域。
$(3)$ 將各頂點代入目標函數 $P=11x+12y$：
$$P(0,0)=0$$
$$P(20,0)=11\times 20+12\times 0=220$$
$$P(20,20)=11\times 20+12\times 20=220+240=460$$
$$P(8,30)=11\times 8+12\times 30=88+360=448$$
$$P(0,30)=11\times 0+12\times 30=360$$
因為 $P$ 在 $(20,20)$ 處取得最大值 $460$，所以應進口甲廠牌 $20$ 台、乙廠牌 $20$ 台，最大利潤為 $460$ 萬元。
故 $
(1)$ $0\le x\le 20$，$0\le y\le 30$，$100x+120y\le 4400$，最大化 $P=11x+12y$；$
(2)$ 可行解區域為第一象限中由 $x=0$、$y=0$、$x=20$、$y=30$ 與 $5x+6y=220$ 圍成的多邊形；$
(3)$ 甲 $20$ 台、乙 $20$ 台，最大利潤 $460$ 萬元。
題目來源：民國107年指考數學乙 第12題（來源PDF第7頁）
資料版本：2026-07-21（commit bde62541）
校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。
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引用本站：大考雷達站，〈107指考數學乙非選第12題詳解〉，資料版本 2026-07-21，https://twmath.com/questions/107_07B_q12
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