108指考數學乙非選第12題詳解

（1）設訂購重機 $x$ 部，汽車 $y$ 部（$x, y$ 為非負整數）。 因為重機每部 $25$ 萬元、汽車每部 $60$ 萬元，經費上限為 $5400$ 萬元，所以 $$25x + 60y \le 5400 \implies 5x + 12y \le 1080$$ 因為每格停車位可停 $2$ 部重機或 $1$ 部汽車，共有 $100$ 格，所以 $$\frac{x}{2} + y \le 100 \implies x + 2y \le 200$$ 因為數量不得為負，所以 $x \ge 0$，$y \ge 0$。 目標函數（淨利潤）為 $P = 2.3x + 5y$（單位：萬元）。 （2）繪製不等式 $5x + 12y \le 1080$、$x + 2y \le 200$ 及 $x \ge 0$、$y \ge 0$ 所圍區域。 求兩限制直線的交點。因為聯立 $$\begin{cases} 5x + 12y = 1080 \\ x + 2y = 200 \end{cases}$$ 由第二式得 $x = 200 - 2y$，代入第一式得 $5(200 - 2y) + 12y = 1080$，化簡為 $1000 - 10y + 12y = 1080$，即 $2y = 80$，所以 $y = 40$。代入 $x = 200 - 2 \times 40$，所以 $x = 120$。 因此可行解區域為以 $(0,0)$、$(200,0)$、$(120,40)$、$(0,90)$ 四點為頂點的四邊形區域（含邊界與內部格點）。 （3）利用頂點法求最大淨利潤，將各頂點代入目標函數 $P = 2.3x + 5y$： 因為在 $(0,0)$ 處 $P = 0$，所以非最大值。 因為在 $(200,0)$ 處 $P = 2.3 \times 200 + 5 \times 0 = 460$，所以 $P = 460$。 因為在 $(0,90)$ 處 $P = 2.3 \times 0 + 5 \times 90 = 450$，所以 $P = 450$。 因為在 $(120,40)$ 處 $P = 2.3 \times 120 + 5 \times 40 = 276 + 200 = 476$，所以 $P = 476$ 為最大值。 故應訂購重機 $120$ 部、汽車 $40$ 部，可得最大淨利潤 $476$ 萬元。