104學測數學單選第4題詳解

設原目標函數 $ax + by + 3$ 的法向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{n} = (a, b)$。因為最大值只發生在正八邊形的 $B$ 點，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}$ 的方向必落在 $B$ 點的外法向量錐內。 由圖形可知，$B$ 點相鄰兩邊為 $AB$ 與 $BC$；其外法向量方向介於右方與右下方之間，因此 $$a > 0, \ b < 0, \ 0 < -b < a$$ 改後目標函數 $3 - bx - ay$ 的法向量為 $$\overset{\large\rightharpoonup}{n}' = (-b, -a)$$ 由 $0 < -b < a$ 可知 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}'$ 的方向介於右下方與正下方之間，這正是 $A$ 點相鄰兩邊 $HA$ 與 $AB$ 的外法向量錐。 因此新目標函數的最大值會唯一發生在 $A$ 點，故選 $(1)$。